Teorema de Derivadas

Teorema 1: 

La derivada de una función constante es cero. 

Teorema 2:

Derivada de x con respecto a x

Teorema 3:

Derivada de una constante por una función

Teorema 4:

Derivada de una potencia

  

Derivada por Límite

Teorema 0:
El límite de una constante siempre será la constante.

Teorema 1:
El límite de una constante que multiplica a una función, también será la constante por el límite de la función.

Teorema 2:
El límite de la suma o diferencia de dos funciones será igual a la suma o diferencia de los límites de cada una.

Teorema 3:

El límite de la resta o diferencia de dos funciones será igual a la resta o diferencia de los límites de cada una.

Teorema 4:
El límite de la multiplicación o diferencia de dos funciones será igual a la multiplicación o diferencia de los límites de cada una.

Teorema 5:
El límite de la división o diferencia de dos funciones será igual a la división o diferencia de los límites de cada una.

Definición de Derivadas

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

• Es una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.
• La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.
• Expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro de ahí entonces que estaríamos hablando de variaciones en todo caso.
• La pendiente de la recta tangente a una función en un punto.
• La tangente del ángulo de inclinación con respecto al eje x de la recta que es tangente a la función en el punto que se está analizando.

Se llama derivada de f(x) en x= a, y se denota f'(a) a:

            f(x) - f(a)
f'(a) = lim ----------- 
        x->a   x - a

Definición de límite

Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o función, a medida que los parámetros de esa función se acercan a un determinado valor. Este se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, etc.

El límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x, es decir:
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y la derecha entonces:

El límite de una función no existe si la variable independiente al acercarse por la izq. es diferente a la derecha que se acerca.

Algunos tipos de indeterminación son: 

Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y así calcular el límite.

3 casos cuando el límite no existe

Existen diferentes casos de cuando el límite no existe:

1. Si la gráfica se acerca a dos números distintos desde dos direcciones diferentes, cuando x se acerca aun número establecido, entonces el límite no existe. No puede ser dos números distintos.
2. Si la gráfica tiene una asíntota vertical, que son dos líneas que se aproximan al valor del límite que sigue subiendo o bajando sin límites, entonces el límite no existe.
3. f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a cero, por lo tanto se concluye que el límite no existe.
4. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c.

Y aquí hay algunos videos explicando lo anterior.

Cálculo de límite (Método de Sustitución)

Cálculo por el método de sustitución

En una función para calcular el limite en X=a, si f(a) existe, este será el limite. puesto que si f(a), entonces f(x) es continua en x=a 

En una función racional, cuando no existe f(a), el limite puede ser calculado mediante una simplificación de su expresión algebraica

Procedimiento 

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones

2. se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una solo incógnita

3.se resuelve la ecuación 

4. el valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada

5. los dos valores obtenidos constituyen el valor del sistema.

Método directo

Si con el método directo sale indeterminada tienes que factorizar.

Cálculo de límite (Método de Aproximación)

Cálculo por el método de aproximación

Límites por Aproximación: El limite de una función f(X) es el valor L, al cual se aproxima a la función a medida que la variable X toma valores cada vez mas cercano a “a”.



Y aquí esta un video de como resolver la función con este método